设 A 和 B 均为 n 阶方阵。

矩阵中的行列式与逆矩阵

行列式

矩阵的行列式是一个与其相关联的标量值，可以用来衡量矩阵的非奇异性。矩阵 A 的行列式记为 det(A)。

如果 det(A) ≠ 0，则称矩阵 A 为非奇异矩阵。这意味着矩阵 A 可逆，即存在一个矩阵 A⁻¹ 满足 AA⁻¹ = A⁻¹A = I，其中 I 是 n 阶单位矩阵。

逆矩阵

如果矩阵 A 非奇异，则它的逆矩阵 A⁻¹ 是一个唯一的矩阵，满足上述方程。逆矩阵可以用来求解矩阵方程 Ax = b，其中 x 是未知量向量。

对于非奇异矩阵 A，其逆矩阵 A⁻¹ 可表示为 det(A) 的伴随矩阵的转置除以 det(A)。

行列式与逆矩阵之间的关系

行列式和逆矩阵之间存在着密切的关系。对于非奇异矩阵 A，以下公式成立：

det(A⁻¹) = 1/det(A) (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ

应用

行列式和逆矩阵在许多数学和应用领域中都有着广泛的应用：

求解矩阵方程 求解线性变换的行列式 确定矩阵的特征值和特征向量 计算体积和面积（在几何中） 分析稳定性和控制系统（在工程学中）